摘要：粒子群算法在解决一些复杂的优化问题上仍存在较多缺陷，如在迭代后期易陷入局部极值、寻优结果不稳定等。本文利用混沌理论进行了算法的改进研究，通过分析 映射和 映射的序列特点，发现 序列全局遍历性强但后期深度搜索能力较弱，而 序列则具有较好的混沌扰动能力。因此，本文提出了基于 和 双重映射的混沌粒子群算法，以充分利用两种映射的优点，并提高算法全局遍历和深度搜索的能力，克服原算法易陷入早熟等缺陷。仿真结果证明了算法的有效性。

　　关键词：粒子群算法 映射 映射 混沌中图分类号：TP301.6 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2015）12-0000-00粒子群算法（ ， ）在进化后期存在收敛速度慢和早熟收敛的现象，因此仍存在较多缺陷。混沌是指在确定性系统中看似随机的不规则的运动，是非线性动力系统特有的形式。在基本的粒子群算法中引入混沌的理念，能避免算法过早收敛于局部极值，加强算法全局搜索性能。近年来，很多学者利用混沌理论进行了算法的改进研究，如有学者利用 映射对传统的粒子群优化算法进行改进[1]，也有学者根据 映射的全局遍历性对算法进行优化[2]，但实际上这两种改进各有优势。基于此，本文结合两种改进算法的思想，提出基于 和 双重映射的混沌粒子群算法（ Tent chaotic Particle Swarm Optimization，LTPSO）。

　　1 映射和 映射优缺点分析利用混沌的遍历性和随机性[3]对智能算法进行优化搜索已发展成为一种高效的全局优化技术，促使混沌广泛应用于各个学科领域。

　　1.1 映射映射表达式为：

　　其中， 。

　　通过系统仿真可以知道，在 时，系统动力学形态非常复杂，出现混沌状态。

　　目前，研究基于 映射的混沌粒子群算法大多将算法分为两大阶段：第一阶段称为粗搜索阶段，先采用基于 迭代映射遍历整个解集空间，当达到所求问题的相应条件时，即把当前的最优解当作全局最优解；第二阶段称为细搜索阶段，以第一阶段的结果为中心进行混沌扰动，即精确细致搜索，直至满足算法终止准则。虽然这种改进能在一定程度上提高算法的搜索精度，但是 映射混沌的序列主要集中分布在两端，而中间区域较少，如果最优解落在中间部分，则算法便会在偏离最优解的空间循环迭代，导致无法得到全局最优解。

　　1.2 映射映射也常称帐篷映射，是分段线性的一维映射，其表达式为：

　　其中，当参数 ， 时，映像处于混沌状态。

　　与 映射相比， 映射具有均匀的概率密度、功率谱密度和理想的相关特性，更快的迭代速度，更多的自相关和适用于大量的序列。

　　综合以上分析，我们可以将粒子群算法的搜索过程分成两个部分，一是粗略搜索阶段，二是精细搜索阶段。通过参考相关文献的研究结论，如文献[2]等， 序列全局遍历性强但后期深度搜索能力较弱，而 序列则具有较好的混沌扰动能力，基于此，本文提出双重映射的混沌粒子群算法（LTPSO），即在粗搜索阶段采用 映射，而在细搜索阶段采用 映射。

　　2基于双重映射的混沌粒子群算法2.1 PSO算法基本思想设搜索空间为 维，粒子种群规模为 。第 个粒子位置表示为向量 ；第 个粒子的历史最优位置为 ，即 ；种群的群体极值为 ，即 ；第 个粒子的速度表示为 。每个粒子的位置按如下公式进行变化[8]：

　　其中， ， 。 和 为学习因子， 和 为两个在（0，1）范围内变化的相互独立的随机函数， 为惯性权重。粒子群初始位置和速度随机产生，然后按式（3）和式（4）进行迭代，直至找到满意的解。

　　2.2 LTPSO算法原理本文在参考文献[2]的基础上，提出基于双重映射的混沌粒子群算法，算法主要步骤为：

　　步骤1粒子群初始化。利用 映射（取 ）生成 个混沌序列 ，其中， ， 。将混沌序列 通过式（3）载波变换为优化变量：

　　式（5）中， 、 分别表示优化变量 的最大值与最小值，D为变量维数， 为种群规模。将映射得到的优化变量 作为粒子的初始化值。

　　步骤2计算粒子的适应度。将粒子的目前位置记为 ，群体中适应度最优的粒子位置记为 。

　　步骤3粒子粗略搜索。粒子速度更新公式变为式（6）：

　　其中， 为另一组 混沌变量。根据式（6）和式（4）更新粒子的速度和位置，重新计算新粒子的适应度，并判断是否更新粒子的个体极值以及群体的全局极值。

　　步骤 4判断是否满足迭代终止条件（即最大迭代次数）。如果满足，算法终止并输出结果；否则，执行步骤 5。

　　步骤 5粒子的早熟收敛判决。当算法迭代到一定代数时，粒子会陷入局部收敛状态，即“早熟”。定义如下的早熟收敛公式：

　　式（7）中， 、 分别为当前时刻群体极值和个体极值。预设早熟收敛阈值 ，当 时，则群体过于聚集，表现为早熟收敛状态。如果满足条件，则转步骤6；否则，转步骤 3。

　　步骤6粒子深度搜索。对早熟的粒子进行混沌扰动，根据 映射（取 ）生成序列 ， ， 。由式（8）和式（9）进行混沌扰动：

　　式（8）中， 为调节参数， （ ）为当前最优解向量；式（9）中， 即为进行扰动后的混沌向量。

　　步骤7 转入步骤 2继续进行迭代计算。

　　3仿真实验3.1 算法优化性能比较本文选用国际通用的四个标准测试函数对 算法进行仿真实验：

　　函数： ，在 处取得全局最小值0；函数： ，在 处取得全局最小值0；将本文提出的 算法与基本粒子群算法（ ）、基于 映射的混沌粒子群算法（LPSO）[1]、基于 映射的混沌粒子群算法（TPSO）[3]进行比较。以上四种算法的基本参数设置为：迭代次数 ，种群规模 ，学习因子 ，惯性权重 ，变量取值范围 ，变量维数D=4，粒子速度范围 。另外，在 算法中，令 ，早熟收敛阈值 。为消除随机搜索的误差，将每个算法独立运行50次，找出最优解和最差解，并求50次解的平均值，结果如表1所示 　　表1 标准测试函数的仿真结果函数 算法名称 平均解 最优解 最差解 标准差Griewank BPSOLPSOTPSOLTPSO 0.01932.478e-038.247e-031.673e-06 3.134e-025.279e-053.741e-041.102e-08 0.47921.224e-026.911e-022.43e-06 5.24342.66411.67100.5914Rastrigrin BPSOLPSOTPSOLTPSO 1.36711.255e-022.778e-037.5278e-06 0.47232.943e-031.279e-041.125e-07 5.58760.81163.274e-032.624e-06 2.07932.21310.87710.70673.2 仿真结果分析由表1可以得出，本文提出的 算法具有较好的表现，具体分析如下：

　　（1）算法的寻优能力分析。从仿真结果可以明显看出， 、 和 的寻优性均比 有较大提升。 算法兼具 和 算法的优点： 算法在早期有较好的搜索广度，但在后期仍出现早熟现象； 算法能在后期跳出局部极值，但由于搜索广度较差导致寻优结果受限； 有效增强了算法的广度搜索能力，同时又保持了深度搜索能力，较好的提高了算法的寻优能力。

　　（2）算法的稳定性分析。稳定性是算法的一个重要评价指标。表 1提供的数据可以较为全面的分析四种算法的稳定性。在平均解方面， 均比 和 提高了3个数量级以上；从标准差分析， 算法的标准差均小于1，即50次运行结果差别较小。无论从寻优结果的准确性，还是从寻优过程的稳定性进行比较，本文提出的 算法均比其他3种算法具有较大的优势。

　　4 结语本文在研究粒子群算法系统稳定性的基础上，结合 和 映射存在的各自优点，提出了一种基于 和 双重映射的混沌粒子群优化算法。先通过 映射产生初值并进行载波变换，再利用 映射进行混沌扰动，使得粒子能够在快速局部寻优的基础上对整个空间进行搜索。典型测试函数的仿真结果表明算法收敛速度快、精确度高，且全局寻优能力强，证明了基于双重映射的混沌粒子群优化算法的可行性。

　　参考文献[1] 梁慧，混沌粒子群优化算法的分析与应用[C].广东工业大学，2011：31-33.

　　[2] Hongli Xu ，XuQian， liang Zhang. Study of ACO Algorithm Optimization Algorithm Based on Improved Tent Chaotic Mapping Journal of Information &Computational Science. EI 9：6 （2012） ：1653-1660.

　　[3] 胥小波，郑康锋。新的混沌粒子群优化算法[J].通信学报，2012，33（1）：25-27.