吉林大学学报工学版
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基于 和 双重映射的混沌粒子群算法

  摘要:粒子群算法在解决一些复杂的优化问题上仍存在较多缺陷,如在迭代后期易陷入局部极值、寻优结果不稳定等。本文利用混沌理论进行了算法的改进研究,通过分析 映射和 映射的序列特点,发现 序列全局遍历性强但后期深度搜索能力较弱,而 序列则具有较好的混沌扰动能力。因此,本文提出了基于 和 双重映射的混沌粒子群算法,以充分利用两种映射的优点,并提高算法全局遍历和深度搜索的能力,克服原算法易陷入早熟等缺陷。仿真结果证明了算法的有效性。


  关键词:粒子群算法 映射 映射 混沌中图分类号:TP301.6 文献标识码:A 文章编号:1007-9416(2015)12-0000-00粒子群算法( , )在进化后期存在收敛速度慢和早熟收敛的现象,因此仍存在较多缺陷。混沌是指在确定性系统中看似随机的不规则的运动,是非线性动力系统特有的形式。在基本的粒子群算法中引入混沌的理念,能避免算法过早收敛于局部极值,加强算法全局搜索性能。近年来,很多学者利用混沌理论进行了算法的改进研究,如有学者利用 映射对传统的粒子群优化算法进行改进[1],也有学者根据 映射的全局遍历性对算法进行优化[2],但实际上这两种改进各有优势。基于此,本文结合两种改进算法的思想,提出基于 和 双重映射的混沌粒子群算法( Tent chaotic Particle Swarm Optimization,LTPSO)。


  1 映射和 映射优缺点分析利用混沌的遍历性和随机性[3]对智能算法进行优化搜索已发展成为一种高效的全局优化技术,促使混沌广泛应用于各个学科领域。


  1.1 映射映射表达式为:


  其中, 。


  通过系统仿真可以知道,在 时,系统动力学形态非常复杂,出现混沌状态。


  目前,研究基于 映射的混沌粒子群算法大多将算法分为两大阶段:第一阶段称为粗搜索阶段,先采用基于 迭代映射遍历整个解集空间,当达到所求问题的相应条件时,即把当前的最优解当作全局最优解;第二阶段称为细搜索阶段,以第一阶段的结果为中心进行混沌扰动,即精确细致搜索,直至满足算法终止准则。虽然这种改进能在一定程度上提高算法的搜索精度,但是 映射混沌的序列主要集中分布在两端,而中间区域较少,如果最优解落在中间部分,则算法便会在偏离最优解的空间循环迭代,导致无法得到全局最优解。


  1.2 映射映射也常称帐篷映射,是分段线性的一维映射,其表达式为:


  其中,当参数 , 时,映像处于混沌状态。


  与 映射相比, 映射具有均匀的概率密度、功率谱密度和理想的相关特性,更快的迭代速度,更多的自相关和适用于大量的序列。


  综合以上分析,我们可以将粒子群算法的搜索过程分成两个部分,一是粗略搜索阶段,二是精细搜索阶段。通过参考相关文献的研究结论,如文献[2]等, 序列全局遍历性强但后期深度搜索能力较弱,而 序列则具有较好的混沌扰动能力,基于此,本文提出双重映射的混沌粒子群算法(LTPSO),即在粗搜索阶段采用 映射,而在细搜索阶段采用 映射。


  2基于双重映射的混沌粒子群算法2.1 PSO算法基本思想设搜索空间为 维,粒子种群规模为 。第 个粒子位置表示为向量 ;第 个粒子的历史最优位置为 ,即 ;种群的群体极值为 ,即 ;第 个粒子的速度表示为 。每个粒子的位置按如下公式进行变化[8]:


  其中, , 。 和 为学习因子, 和 为两个在(0,1)范围内变化的相互独立的随机函数, 为惯性权重。粒子群初始位置和速度随机产生,然后按式(3)和式(4)进行迭代,直至找到满意的解。


  2.2 LTPSO算法原理本文在参考文献[2]的基础上,提出基于双重映射的混沌粒子群算法,算法主要步骤为:


  步骤1粒子群初始化。利用 映射(取 )生成 个混沌序列 ,其中, , 。将混沌序列 通过式(3)载波变换为优化变量:


  式(5)中, 、 分别表示优化变量 的最大值与最小值,D为变量维数, 为种群规模。将映射得到的优化变量 作为粒子的初始化值。


  步骤2计算粒子的适应度。将粒子的目前位置记为 ,群体中适应度最优的粒子位置记为 。


  步骤3粒子粗略搜索。粒子速度更新公式变为式(6):


  其中, 为另一组 混沌变量。根据式(6)和式(4)更新粒子的速度和位置,重新计算新粒子的适应度,并判断是否更新粒子的个体极值以及群体的全局极值。


  步骤 4判断是否满足迭代终止条件(即最大迭代次数)。如果满足,算法终止并输出结果;否则,执行步骤 5。


  步骤 5粒子的早熟收敛判决。当算法迭代到一定代数时,粒子会陷入局部收敛状态,即“早熟”。定义如下的早熟收敛公式:


  式(7)中, 、 分别为当前时刻群体极值和个体极值。预设早熟收敛阈值 ,当 时,则群体过于聚集,表现为早熟收敛状态。如果满足条件,则转步骤6;否则,转步骤 3。


  步骤6粒子深度搜索。对早熟的粒子进行混沌扰动,根据 映射(取 )生成序列 , , 。由式(8)和式(9)进行混沌扰动:


  式(8)中, 为调节参数, ( )为当前最优解向量;式(9)中, 即为进行扰动后的混沌向量。


  步骤7 转入步骤 2继续进行迭代计算。


  3仿真实验3.1 算法优化性能比较本文选用国际通用的四个标准测试函数对 算法进行仿真实验:


  函数: ,在 处取得全局最小值0;函数: ,在 处取得全局最小值0;将本文提出的 算法与基本粒子群算法( )、基于 映射的混沌粒子群算法(LPSO)[1]、基于 映射的混沌粒子群算法(TPSO)[3]进行比较。以上四种算法的基本参数设置为:迭代次数 ,种群规模 ,学习因子 ,惯性权重 ,变量取值范围 ,变量维数D=4,粒子速度范围 。另外,在 算法中,令 ,早熟收敛阈值 。为消除随机搜索的误差,将每个算法独立运行50次,找出最优解和最差解,并求50次解的平均值,结果如表1所示   表1 标准测试函数的仿真结果函数 算法名称 平均解 最优解 最差解 标准差Griewank BPSOLPSOTPSOLTPSO 0.01932.478e-038.247e-031.673e-06 3.134e-025.279e-053.741e-041.102e-08 0.47921.224e-026.911e-022.43e-06 5.24342.66411.67100.5914Rastrigrin BPSOLPSOTPSOLTPSO 1.36711.255e-022.778e-037.5278e-06 0.47232.943e-031.279e-041.125e-07 5.58760.81163.274e-032.624e-06 2.07932.21310.87710.70673.2 仿真结果分析由表1可以得出,本文提出的 算法具有较好的表现,具体分析如下:


  (1)算法的寻优能力分析。从仿真结果可以明显看出, 、 和 的寻优性均比 有较大提升。 算法兼具 和 算法的优点: 算法在早期有较好的搜索广度,但在后期仍出现早熟现象; 算法能在后期跳出局部极值,但由于搜索广度较差导致寻优结果受限; 有效增强了算法的广度搜索能力,同时又保持了深度搜索能力,较好的提高了算法的寻优能力。


  (2)算法的稳定性分析。稳定性是算法的一个重要评价指标。表 1提供的数据可以较为全面的分析四种算法的稳定性。在平均解方面, 均比 和 提高了3个数量级以上;从标准差分析, 算法的标准差均小于1,即50次运行结果差别较小。无论从寻优结果的准确性,还是从寻优过程的稳定性进行比较,本文提出的 算法均比其他3种算法具有较大的优势。


  4 结语本文在研究粒子群算法系统稳定性的基础上,结合 和 映射存在的各自优点,提出了一种基于 和 双重映射的混沌粒子群优化算法。先通过 映射产生初值并进行载波变换,再利用 映射进行混沌扰动,使得粒子能够在快速局部寻优的基础上对整个空间进行搜索。典型测试函数的仿真结果表明算法收敛速度快、精确度高,且全局寻优能力强,证明了基于双重映射的混沌粒子群优化算法的可行性。


  参考文献[1] 梁慧,混沌粒子群优化算法的分析与应用[C].广东工业大学,2011:31-33.


  [2] Hongli Xu ,XuQian, liang Zhang. Study of ACO Algorithm Optimization Algorithm Based on Improved Tent Chaotic Mapping Journal of Information &Computational Science. EI 9:6 (2012) :1653-1660.


  [3] 胥小波,郑康锋。新的混沌粒子群优化算法[J].通信学报,2012,33(1):25-27.


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