摘要：针对粒子群算法易陷入局部最优问题，从数学角度分析了粒子群算法易陷入局部最优的理论原因，提出一种自适应混沌变异粒子群算法，对陷入局部最优的粒子产生变异，增加算法的遍历性、种群的多样性，以跳出局部最优解，用来解决水库优化调度问题。与现有算法相比，自适应混沌变异粒子群算法计算快，稳定性强，既避免了粒子群算法陷入局部最优，同时在一定程度上又保证了收敛性。

　　关键词：水库优化调度；粒子群优化；混沌；变异；自适应；局部最优；收敛性中图分类号：TV697 文献标志码：A 文章编号：1672-1683（2014）06-0181-03水库优化调度是一类动态最优控制问题。传统的解决方法主要基于数学规划技术，如线性规划、动态规划等[1]。随着生物智能仿真算法的兴起，有学者用遗传算法[2-6] 、模拟退火算法[7]解决此问题。实验表明，现有算法存在“维数灾难”、收敛速度慢等问题。

　　粒子群算法[8]（PSO算法）因收敛速度快，计算简单，较易实现等优点，获得广大学者的青睐，并被引入水库优化调度研究领域中[9-10]。但研究表明，与其他仿生算法一样，粒子群算法依然存在早收敛问题。为此，诸多学者对粒子群算法[11-12]进行了改进，在某种程度上确实提高了粒子群算法的搜索能力，但对于多维函数而言，解的搜索能力还不是很好。

　　本文拟根据基本粒子群算法易陷入局部最优的原因，融合混沌思想，对可能陷入局部最优的粒子进行自适应混沌变异操，产生极值变异，继续搜索，以便获得更优解。

　　1 问题描述1.1 目标函数以发电为主，兼顾灌溉、防洪等任务的水库为研究对象，确定的优化目标是发电量最大。因此目标函数为式中：E为电站的年发电量；A为电站的综合出力系数；Qi为第i时段发电流量；Hi为第i时段平均发电净水头；T为总时段数；Mi为第i时段小时数。

　　1.2 主要约束条件（1）水量平衡约束。

　　式中：Vi、Vi+1分别为第i时段初、末的水库库容；qi为第i时段入库平均流量；Qi表示第i时段发电引用流量；Si表示第i时段弃水量。

　　（2）水库蓄水量约束。

　　式中：Vi，min为第i时段应保证的水库最小蓄水量；Vi，max表示第i时段允许的水库最大蓄水量。

　　（3）水库下泄流量约束。

　　式中：Qi，min为第i时段必须保证的最小下泄流量；Qi，max表示第i时段允许的最大下泄流量。

　　（4）出力约束。

　　式中：Ni，min为电站允许的最小出力；Ni，max为电站的最大出力限制（一般为装机容量）。

　　2 水电站水库优化调度混沌粒子群算法2.1 基本粒子群算法及其局部最优原因分析假设m个粒子，在n维空间中搜索，第i粒子在第d维的位置用xid表示，飞行速度用vid表示，当前最优位置用pid表示，整个粒子群中当前的最优位置用pgd表示。基本粒子群算法中位置、速度的更新见式（6）、式（7）式中：t为当前进化代数；r1、r2为随机数，在[0，1]之间取值；ω表示惯性权重；c1、c2为学习因子，是非负常数。

　　通过实验发现：粒子群寻优过程中表现出强烈的“趋同性”，使种群多样性损失过快，导致早收敛。参照文献[13]的思路分析如下：

　　由式（6）、式（7）代数变换整理可得在算法的运行过程中，每一维独立更新自己的速度和位置，因此可以省略下标d，将式（8）简化成一维表示，即式（9）：

　　以上推理不难看出，粒子群算法易陷入局部最优的原因之一是：在搜索过程中若所有粒子均没有发现比pg更优的位置，则进化过程将陷入停滞状态，粒子将逐渐向pd+pg2靠拢，陷入局部最优。

　　文献[14]中的研究表明，在算法运行过程中，对pg附近的部分个体做出变异，可能会找到比pg更优的位置，从而跳出局部极值，而且当参与调整的个体数量不大时，算法复杂度不会有明显的增加。因此，在本文改进的算法中引入了混沌变异操作，当大部分个体都得到相同解或相近解时，则认为种群没有了多样性，陷入局部极值，需要进行变异操作，使粒子逃脱局部极值。

　　文献[15]在智能优化算法中引入了Logistic映射，使其搜索范围扩大，候选解增多，增强了算法的搜索能力。本文采用的变异公式如下：

　　式中：μ为控制混沌状态的参数。

　　混沌变异操作时，个体的位置在[0，1]取值内，本文采取如下计算方法：

　　式中：R=max{pid-pgd}。变异后pid及其适应值可以由式（11）和式（12）联合重新计算，如果得到更优的解，则对pid和pgd进行更新。

　　2.2 算法步骤步骤1：根据水库水位的可能变化范围（要搜索的解的集合），随机初始化Xi、Vi，限定粒子的最大速度Vmax =0.1（Xmax- Xmin ），并初始化最大迭代次数等相关参数。

　　步骤2：由式（6）计算各个粒子的新速度Vi（t+1），依据式（7）计算更新各个粒子的位置Xi（t+1）。

　　步骤3：由式（13）求每一个粒子的适应度，并对个体最优值pid和全局最优值pgd进行计算更新。

　　式中：E为目标函数；Cmax为一正数，用来确保适应度函数值恒大于0；P为惩罚项，取值如下：

　　首先令Ni=AQiHi，若Qmin≤Qi+Si≤Qmax且Nmin≤Ni≤Nmax，则P=0；若（Qi+Si）>Qmax或Qi　　式中：Fi（t）是第t次迭代后得到的适应度值。

　　步骤5：利用式（11），对pgd进行变异操作。

　　步骤6：若循环计数器的值等于最大迭代次数，则输出最优，否则转到步骤3继续求解。

　　3 仿真实验为说明本文算法的先进性及有效性，在种群规模及粒子群算法基本参数相同的条件下，本文算法与已有算法进行了对比，结果见表1及图1。就优化结果而言，免疫粒子群、退火粒子群以及本文提出的混沌粒子群算法得到的计算结果比基本粒子群算法好，但在计算时间上较基本粒子群算法耗时稍多。就收敛性方面而言，基本粒子群算法大约进化60代左右，免疫粒子群和退火粒子群大约进化到40代左右，混沌粒子群大约进化到20代左右算法收敛。就算法的稳定性而言，基本粒子群算法得到的计算结果波动较大，而混沌粒子群算法最稳定。基本粒子群算法容易陷入局部最优；免疫粒子群算法利用自我调节机制跳出局部极值，其局部搜索效果较差，进化缓慢现象偶现；退火粒子群算法利用退火机制保持种群多样性，但算法性能受温度衰减速度控制的影响。

　　4 结论本文在分析粒子群算法易陷入局部最优问题原因的基础上，提出一种自适应混沌变异粒子群算法，在提出的算法中对可能陷入局部最优的个体采取自适应混沌变异操，避免早熟，使其重新获得更优解。将该算用于解决水电站水库优化调度问题的计算机仿真表明，与已有算法相比，本文算法增加了粒子的多样性，扩大了搜索的范围，算法性能最为突出。对该算法稍作修改，亦可以应用于解决其他优化问题。

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